Poliedros cóncavos

El poliedro cóncavo es aquel donde para unir al menos dos de sus puntos es imposible trazar un segmento de recta que se encuentre dentro de la figura.

Este tipo de poliedro tiene un ángulo diedro (aquel formado a partir de la unión de dos caras) que es entrante. En consecuencia, una recta puede cortar la superficie de la figura en más de dos puntos.

Elementos de un poliedro cóncavo:

• Caras: son los polígonos que constituyen los lados del poliedro.
• Aristas: son los segmentos donde se unen dos caras de la figura.
• Vértices: son aquellos puntos donde se juntan varias aristas.
• Ángulo diedro: es el ángulo que se forma a partir de la unión de dos caras. Su número es igual al número de aristas.
• Ángulo poliedro: es aquel que se forma por dos lados que coinciden en un mismo vértice. Su número coincide con el de vértices.

Ejemplos de poliedros cóncavos:

Pirámide cóncava, prisma con base pentagonal y prisma semejante a los peldaños de una escalera (de derecha a izquierda). 

En el siguiente video se analizar algunos poliedros cóncavos mencionando sus principales características o elementos como vértices, aristas, caras, ángulos, entre otros. Espero que sea de mucha utilidad para saber más de está clase de poliedros cóncavos  y poder diferenciarlos de los poliedros convexos.  

El uso del cilindro de cartón de los rollos de papel higiénico.

Materiales:

• 2 rollos de papel higiénico
• Tijeras
• Regla y escuadra
• Marcadores de colores

Procedimiento para el romboide:

Paso 1. Se marcó la línea que traen los rollos de papel higiénico con un marcador.

Paso 2. Se cortó a través de la línea marcada y se extendió el cartón de manera que quedara plano. (La figura que se obtuvo de ese corte fue un romboide)

Paso 3. En la parte de enfrente, se trazó con la ayuda de regla y marcador las diagonales del romboide y se identificaron como D₁ y D₂ (la regla utilizada fue de 40 cm).

Paso 4. En la parte de atrás, se trazaron las alturas del romboide (estas alturas tienen la misma longitud) se identificaron como h y para la base que son las líneas horizontales paralelas se identificaron como b (en la imagen se observan estas líneas de color anaranjado). Y para trazarlas se empleó la escuadra.

Paso 5. Se cortó por una de las alturas del romboide específicamente por la altura de la parte izquierda y se obtuvieron dos piezas. Con estas piezas se trató de formar un rectángulo y el resultado se puede ver en las imágenes siguientes. 

Procedimiento para el rombo:

Paso 1: Para esta figura fue necesario repetir los pasos 1 y 2 del romboide.

Paso 2: A partir del romboide obtenido del corte que se hizo al cilindro de cartón se tomó el vértice inferior izquierdo y se llevó hasta la línea inclinada derecha, después se cortó el exceso de cartón para obtener un rombo. 

Paso 3. Se trazaron las diagonales del rombo tanto la diagonal menor (línea naranja) como la diagonal mayor (línea celeste).

Paso 4. Se trazaron las alturas del rombo en la parte trasera de la figura con ayuda de una escuadra.

Paso 5. Se cortó por la línea izquierda, es decir por la altura y se obtuvieron dos piezas, con estás piezas se formó un rectángulo la figura de abajo muestra la vista de la parte de enfrente y de la parte de atrás.   

Construcción de un Octágono mediante origami

Materiales:

• 8 hojas de colores cuadradas (medidas 21 x 21 cm)
• El papel a utilizar puede ser iris o algún otro papel que sea delgado.

Procedimiento:

Paso 1. Se tomó una hoja cuadrada y se dobló por la mitad. (Para mejores resultados también se pueden marcar las diagonales del cuadrado).

Paso 2. Se doblaron las dos pestañas (los dos vértices superiores) tratando que quedarán al borde de la línea central y después se cerró la figura (cuando ésta se cerró quedó en forma de trapecio rectángulo).

Paso 3. Tomando como referencia el trapecio rectángulo, se ubicó en la parte superior derecha tratando de hundir una parte de la figura de manera que el resultado final fuese un trapezoide.  

Paso 4. Se repitieron los pasos anteriores con las otras 7 hojas cuadradas.

Después de haber realizado los mismos pasos con las otras hojas de colores se tuvieron 8 piezas en forma de trapezoide. Después se prosiguió a formar el octágono con dichas piezas.

Paso 5. Se introdujo la pieza verde dentro de las pestañas de la pieza roja. Una vez introducida la pieza verde, esta tiene un movimiento peculiar y es que, puede ser desplazada hacia los lados u horizontalmente. Y la pieza verde debe ser atrapada por la pieza roja, para ello se doblaron las pestañas hacia adentro. 

Paso 6. Se tomó otra pieza y se realizó el mismo procedimiento, la pieza anaranjada es la que debe ser atrapada por la pieza verde, se doblaron las pestañas de la pieza verde hacia adentro. Se realizó lo mismo con las otras piezas.

Paso 7. En el momento en que se colocó la última pieza, es decir, cuando se cerró el octágono, la pieza roja que fue con la que se inició es la que debía ser atrapada por la pieza azul, doblando las pestañas de ésta última. Y con ello se construyó un octágono.

Con el octágono se pueden crear otras formas como la de la imagen de abajo. Solo se trata de jalar de las puntas de las piezas (que están escondidas), y con eso se tiene este tipo de molino de viento, aunque muchos otros nombran esta figura como estrella ninja. Aunque si se observa en el centro se crea también un octágono.

Si se siguen moviendo ciertas piezas se obtienen otras figuras tanto en el interior como en el exterior. Así por ejemplo si se observan las figuras siguientes en el interior de ellas se forman: un cuadrado, rectángulo, romboide, pentágono, hexágono y el mismo octágono.

Aunque en el interior de las figuras se encuentren otras figuras como: cuadrado, rectángulo, romboide, pentágono, hexágono, octágono o en el caso de las últimas el interior este cerrado o puede que sea una línea, siempre en el exterior por decirlo así, en todas las figuras está presente el octágono. 

Numero pi

     Pi es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Esto quiere decir que si se toma cualquier circulo, sin importar su tamaño, y se divide el valor de la circunferencia (el perímetro) entre el valor del diámetro del mismo se obtiene siempre el mismo valor o sea pi.

     El número pi es un número irracional, infinito y no sigue ningún patrón predecible. Los primeros decimales son: 3.14159265358979323846, normalmente es representado con los primeros 4 decimales haciendo un redondeo: 3.1416

El número pi tiene muchas aplicaciones en la vida real, en la construcción, la tecnología, etc.

Para realizar el redescubrimiento del número Pi se necesitan los siguientes materiales y pasos a seguir.

Materiales:

•           10 objetos circulares (como platos, tapaderas, etc.)
•           Cinta métrica
•           Cuaderno de anotaciones
•       Lápiz
•           Calculadora

Procedimiento:

Teniendo como ejemplo una tapadera de un canasto de ropa

Paso 1. Se midió la circunferencia (perímetro) de la tapadera con ayuda de la cinta métrica.

Paso 2. Se midió el diámetro (la línea que divide exactamente en dos partes iguales al círculo) de la tapadera. En la imagen se muestra el diámetro que está marcado por la línea amarilla.

Paso 3. Se anotaron los datos en una tabla, tomando como ejemplo la tabla 1. Se realizaron los pasos 1 y 2 para los demás objetos, las medidas de estos objetos también debían quedar registradas en la misma tabla.

Paso 4. Tomando como ejemplo los datos obtenidos de las medidas de circunferencia y diámetro de la tapadera anterior se procedió a dividirlas. Porque Pi es la relación existente entre la longitud de la circunferencia entre su diámetro.

Circunferencia = 148.5 cm

Diámetro = 47 cm

C/D = 148.5 cm / 47 cm = 3.15967 

El resultado de la división fue 3.15967 dato cercano al número Pi.

Paso 5. Después se realizó el mismo cálculo para los demás objetos y se obtuvo el promedio de todas las medidas.

No.	Nombre del objeto	Circunferencia	Diámetro	Resultado de la división C/D
1.	Tapadera beige	148.5 cm	47 cm	3.15957
2.	Plato	49 cm	15.5 cm	3.16129
3.	Tapadera azul	82.3 cm	26 cm	3.16538
4.	Tapadera naranja	24.8 cm	7.8 cm	3.17949
5.	Tapadera fucsia	31.8 cm	10 cm	3.18
6.	Tapadera de una olla	48.3 cm	15.2 cm	3.17763
7.	Molde de pastel	89 cm	28 cm	3.17857
8.	Bastidor	72.5 cm	22.7 cm	3.19383
9.	Masking tape	30.5 cm	9.6 cm	3.17708
10.	Tapadera dorada	19.3 cm	6 cm	3.21667
Sumatoria					Σ = 31.78951
Promedio					3.17895

El margen de error fue de 0.03736 lo que se hizo para obtenerlo fue que, al valor de Pi se le restó el valor del promedio.

3.14159 - 3.17895 = 0.03736

Conclusiones

• Con materiales u objetos que se tienen en casa se pueden enseñar diferentes conceptos de geometría solo es que el docente aprenda a utilizarlos y con ello habrá forjado un aprendizaje significativo en sus estudiantes.

• Con el cilindro de cartón que se obtiene de los rollos de papel higiénico se puede enseñar las figuras romboide y rombo además de algunas de sus características. Y la relación que tienen con un rectángulo, es decir, que al descomponer en dos piezas cada figura se puede formar un rectángulo.

• Por medio del octágono no solo se puede estudiar una figura, sino que al mover las piezas se van formando o creando otras en su interior, figuras como: cuadrado, rectángulo, romboide, hexágono y esto permite que los estudiantes experimenten con la figura y puede que encuentren otras como pentágono o quizá un heptágono solo con mover las piezas. 

•  Es interesante que el número Pi es la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, para comprobarlo se pudo medir la circunferencia y el diámetro de cualquier objeto circular sin importar su tamaño y con una simple división se encontró un valor no exactamente igual al del número Pi, pero si semejante. (Aunque no se tomaron en cuenta factores que pudieron haber intervenido, como una cinta métrica más exacta).